1.5 선형연립방정식의 해: 존재성, 유일성

• 이 포스트는 선형대수와 벡터 미적분학-Erwin Kreyszig 개정판을 참고하여 작성되었습니다.

선형연립방정식에 대한 기본정리

n개의 미지수에 관한 m개의 선형연립방정식

이 해를 갖기 위한 필요충분조건은 그 계수행렬과 첨가행렬이 같은 계수를 갖는 것이다.

-> 존재성(existence)

 

존재성의 조건에서 계수(rank)가 미지수의 개수와 동일하다는 조건이 추가되면 해의 유일성이 보장된다.

-> 유일성(uniqueness)

 

rank가 미지수의 개수보다 작으면 무수히 많은 해가 존재한다.

-> 무수히 많은 해(infinitely many solutions)

 

제차연립방정식

제차연립방정식은 항상 자명한 해(trivial solution) x1 = 0, x2 = 0, ..., xn = 0을 갖는다.

그리고 자명하지 않은 해가 존재할 필요충분조건은 rank A < n이다.

 

비제차연립방정식

만약 비제차 연립방정식이 해를 갖는다면, 이들 모든 해는 x = x0 + xh로 표현할 수 있다.

여기서 x0은 비제차를 만족하는 하나의 해이고, xh는 대응하는 제차연립방정식을 만족하는 임의의 해이다.

-> 즉 모든 '비제차연립방정식의 해'는 '비제차의 한 해'에다가 '임의의 제차연립방정식의 해'를 더한 것이다.