1.4 1차 독립. 행렬의 계수(rank). 벡터공간

• 이 포스트는 선형대수와 벡터 미적분학-Erwin Kreyszig 개정판을 참고하여 작성되었습니다.

벡터의 1차독립과 종속

같은 수의 성분을 가진 m개의 벡터 a들에 대하여, 1차결합(linear combination)이란 임의의 스칼라 c들에 대해 다음과 같이 표현된 것을 말한다.

1차결합

이제 우변에 영벡터를 추가하고 이 식을 만족하는 c들의 값이 전부 0인 것 뿐이라면 벡터 a들은 1차독립 집합을 이룬다고 한다.

만약 전부 0이 아닌 다른 스칼라 조합에 대해서도 성립하는 것이 있다면 1차종속(linearly dependent)이라 한다.

 

이러한 개념들은 일차종속인 집합에서 집합 내 벡터들의 일차결합으로 표현되는 벡터들을 제거함으로써 일차독립 집합으로 변환하는데 쓰인다.

 

행렬의 계수(rank)

행렬A에서 1차독립인 행벡터의 최대수를 A의 계수(rank)라고 하며, rank A로 나타낸다.

(주의) "행"벡터를 기준으로 함에 유의하며, 반드시 최대 갯수만을 의미한다.

 

열벡터에 의한 계수

행렬 A의 계수 r은 A의 1차독립인 열벡터의 최대수와 같다. 즉 rank A = rank AT(윗첨자) 이다.

증명 방법은 일차독립 행벡터들로 모든 행벡터를 표현하는 선형연립방정식을 세우고 k번째 성분에 해당하는 스칼라 방정식으로 바꾸면 된다.

(주의) 행벡터 버전에서 계수였던 값들이 열벡터에서 벡터의 요소가 된다. 반대도 마찬가지.

(주의) vrk(아래첨자)는 바뀌면 안되기 때문에(바뀌면 가정 자체가 바뀌어버림), k번째 열벡터는 반드시 r개의 vrk를 계수로 갖는 선형결합으로 표현되어야 한다. 그리고 성분이 c로 이루어진 열벡터들은 반드시 일차독립이어야 하는데, 일차종속 이라면 가능한 v값이 무한히 많아지기 때문이다.

 

결론적으로, 동일한 행렬을 행 기준이 아닌 열 기준으로 봤을 때, 독립벡터들의 값은 달라지지만, 하나의 "열"벡터가 어떤 동일한 갯수 r개의 벡터들의 선형결합으로 표현된다는 것을 알 수 있다.

 

벡터공간

같은 수의 성분을 갖는 벡터들로 이루어진 집합 V를 생각하자(이때 공집합이 아니라고 가정한다).

아래 두 조건을 만족하는 집합 V를 벡터공간(vector space)이라고 한다.

1. V에 속하는 임의의 두 벡터 a와 b의 일차결합이 또한 V에 속한다.

2. 벡터에 대한 덧셈과 스칼라곱의 성질을 만족한다.

 

벡터공간 V에 속한 1차독립인 벡터들의 최대수를 V의 차원(dimension)이라 하며 dim V라고 표기한다.

V에 속한 1차독립인 벡터들의 최대집합을 벡터공간 V의 기저(basis)라고 한다.

-> 가능한 1차독립 집합 중 벡터 수가 가장 큰 집합을 기저라고 보면 된다.

성분 개수가 같은 벡터들이 주어졌다고 가정했을 때, 이들의 1차결합으로 표현되는 모든 벡터들의 집합을 이들 벡터들의 생성공간(span)이라 한다.

벡터공간 V의 공집합이 아닌 부분집합으로, 그 자체가 벡터공간인 경우, 이를 벡터공간 V의 부분공간(subspace)이라 한다.

행렬 A에 대하여, 그 행벡터들의 생성공간을 행공간(row space), 그리고 열벡터들의 생성공간을 열공간(column space)이라 부른다.

 

행렬 A의 행공간과 열공간은 차원이 같다.

-> rank A = rank AT(위첨자)이기 때문이다.