1.2 행렬의 곱

• 이 포스트는 선형대수와 벡터 미적분학-Erwin Kreyszig 개정판을 참고하여 작성되었습니다.

m x n 행렬 A와 r x p 행렬 B의 곱(dot product) C=AB(순서 중요함)가 정의될 필요충분조건은 r = n이며, 이때 결과는 하나의 행의 각 원소와 하나의 열의 각 원소를 곱한 뒤 전부 더한 값으로 이루어진 행렬이다.

(주의) 행렬의 곱은 비가환적(not commutative)이다. 즉 AB != BA이다.

 

행렬곱의 성질

행렬곱의 성질

두 번째는 결합법칙(associative law), 세 번째와 네 번째는 분배법칙(distributive law)이라 부른다.

 

행렬과 벡터의 전치

m x n 행렬 A의 전치행렬 AT(위첨자) 는 서로의 행과 열의 위치를 맞바꾼 n x m 행렬이다.

그리고 행벡터의 전치는 열벡터이고 그 반대도 마찬가지이다.

법칙은 딱 하나만 외우면 된다. (AB)T = BTAT 이다. 즉 전치기호를 분배하면 순서가 바뀐다.

 

여러가지 특수한 행렬

전치행렬이 원본행렬과 동일하면 대칭행렬(symmetric matrix)이다.

전치행렬이 원본행렬에서 -1 스칼라곱을 한 것과 동일하면 반대칭행렬(skew-symmetric matrix)이다.

주대각선을 포함하여 위쪽으로만 0이 아닌 성분을 가지면 위삼각행렬(upper triangular matrix)이다.

주대각선을 포함하여 아래쪽으로만 0이 아닌 성분을 가지면 아래삼각행렬(lower triangular matrix)이다.

 

주대각선 위에 있는 원소를 제외하고 전부 0이면 대각행렬(diagonal matrix)이다.

대각행렬 중에서 주대각선 상의 원소가 서로 동일하면 스칼라행렬(scalar matrix)이다.

특히 1로 서로 동일하면 단위행렬(unit matrix)이다.

 

Markov Process

확률행렬

모든 성분이 음이 아니면서 열의 합이 모두 1인 정방행렬을 확률행렬(stochastic matrix)이라 부른다.

열의 합이 모두 1인 것에서 알 수 있듯이, 각각의 열은 현재 상태를 의미하며 각각의 행은 다음 상태를 의미한다.

각각의 원소는 특정 상태에서 다음 특정 상태로 전이될 확률을 말한다.

 

Markov process

어떤 상태에 들어갈 확률이 들어가기 직전의 상태에만 의존하는 확률과정을 Markov process라 부른다.

 

확률행렬을 이용한 Markov process

현재 상태에 대한 각 변수들의 값으로 구성되어 있는 벡터가 있고, 그 벡터에 확률행렬을 곱하면 다음 상태에 대한 각 변수들의 값으로 구성된 벡터가 나온다.