2.1 행렬의 고유값 문제. 고유값과 고유벡터 구하기

• 이 포스트는 선형대수와 벡터 미적분학-Erwin Kreyszig 개정판을 참고하여 작성되었습니다.

행렬의 고유값 문제는 주어진 정방행렬 A에 대하여 벡터방정식

Ax = λx 을 만족하는 벡터 x와 스칼라 λ를 찾는 것이다.

-> 즉 A의 고유값 문제는 λ 와 x를찾는 것!

 

이때 가능한 x 중에서 영벡터는 의미가 없으므로 고려하지 않는다.

 

이때 위의 식을 만족하는 λ를 고유값(eigenvalue)이라 부른다.

이에 대응하는 영벡터가 아닌 x를 고유벡터(eigenvector)라 부른다.

 

위의 이미지를 보라. 왼쪽의 경우, 그 결과는 완전히 새로운 벡터가 되었다. 근데 이런 건 별 관심이 없다.

반면, 오른쪽의 경우, 행렬의 곱이 원래 벡터와 같은 방향을 갖는 벡터(배율)를 주었다.

-> 즉 고유값 문제란 어떤 정방행렬이 어떤 벡터를 어떤 배율로 늘리는 것인지를 찾는 것이다.

 

행렬의 모든 고유값의 집합을 스펙트럼(spectrum)이라 한다.

 

 

고유값과 고유벡터를 구하는 방법

Ax = λx 의 우변의 항을 좌변으로 옮기면,

(A - λI)x = 0 이 되는데, 이것이 제차 선형연립방정식임에 주목하자.

이 식이 자명하지 않은 해(무수히 많은 해) x != 0 을 가지기 위한 필요충분조건은 Cramer 정리에 의해 이 식의 계수행렬의 행렬식이 0인 것이다.

 

λ로 이루어진 행렬식 D(λ)를 특성행렬식(characteristic determinant)이라 한다.

λ로 이루어진 다항식을 특성다항식(characteristic polynomial)이라 한다.

방정식 D(λ)=0을 특성방정식(characteristic equation)이라 한다.

 

(주의) 반드시 고유값을 먼저 계산해야 한다.

다만 일부 수치근사방법에서는 고유벡터를 먼저 구하기도 한다.

 

 

고유공간

같은 고유값 λ에 대응하는 고유벡터들(서로 실수배 관계에 있다)은 영벡터와 함께 하나의 벡터공간을 이루며, 이것을 고유값 λ에 대응하는 고유공간(eigenspace)이라고 부른다.

 

 

정방행렬과 이의 전치행렬은 같은 고유값을 갖는다.