2.3 대칭, 반대칭, 직교행렬

• 이 포스트는 선형대수와 벡터 미적분학-Erwin Kreyszig 개정판을 참고하여 작성되었습니다.

대칭, 반대칭 행렬은 이전 포스트에서 이미 언급했으므로 생략한다.

전치된 것이 자신의 역이 되는 정방행렬을 직교행렬(orthogonal matrix) 이라고 한다.

AT = A-1

 

 

직교변환과 직교행렬

직교변환(orthogonal transformation)은 직교행렬 A를 사용한

y = Ax

와 같은 변환을 말한다.

-> 즉 선형변환인데 변환기가 직교행렬이면 직교변환이다.

 

직교변환이 중요한 이유는 다음에서 알 수 있다.

 

 

내적의 불변

실수 n차원 공간 Rn(위첨자) 에 속한 벡터 a와 b에 대하여 직교변환은 내적의 값을 보존한다.

즉 A가 직교행렬이면 u = Aa, v = Ab라 할 때, u·v = a·b가 성립한다.

(주의) 벡터는 주로 열벡터 형태를 기본 형태로 사용한다.

 

 

열벡터 또는 행벡터간의 정규직교성

실수 정방행렬이 직교행렬일 필요충분조건은 열벡터(또는 행벡터) a1, ..., an이 정규직교계(orthonormal system)를 형성하는 것이다. 즉

이다.

 

 

직교행렬의 행렬식

직교행렬의 행렬식 값은 무조건 1 또는 -1이다.