[확률과 통계]5장. 연속확률분포

• 이 포스트는 '공학인증을 위한 확률과 통계 제 4판'을 참고하여 작성되었습니다.

 

 

5.1 균등분포

이산균등분포와 비슷하게 확률밀도함수가 일정하게 나타나는 연속확률분포를 균등분포(uniform distribution)라 한다.

 

 

5.2 지수분포와 감마분포

임의의 양수 lambda에 대하여 다음과 같은 확률밀도함수 f(x)를 갖는 확률분포를 모수 lambda인 지수분포(exponential distribution)라 한다.

여기서 x는 0부터 x까지 관찰했을 때 사건이 '최초로' 발생할 확률을 의미한다.

지수분포의 확률밀도함수

지수분포는 다음과 같이 표기한다.

지수분포

지수분포의 기댓값과 분산은 다음과 같다.

지수분포의 기댓값과 분산

지수분포는 기하분포와 마찬가지로 비기억성 성질을 갖는다. 즉 t = a 까지 사건이 관찰되지 않았다면, 시점 a를 다시 t = 0이라고 생각하고 관찰해도 된다는 것이다.

 

다음과 같은 확률분포를 모수 alpha, beta인 감마분포(gamma distribution)라 한다.

감마분포의 확률밀도함수

감마분포는 다음과 같이 표기한다.

감마분포

감마분포의 기댓값과 분산은 다음과 같다.

감마분포의 기댓값과 분산

 

 

5.3 정규분포

기댓값 mu와 분산 sigma^2인 연속확률변수 X의 확률밀도한수가 다음과 같을 때, X는 모수 mu와 sigma^2을 가지는 정규분포(normal distribution) 또는 가우스분포(Gaussian distribution)를 이룬다 한다.

정규분포의 확률밀도함수

정규분포는 다음과 같이 표기한다.

정규분포

특히 기댓값이 0이고 분산이 1인 정규분포를 표준정규분포(standard normal distribution)라 한다.

표준정규분포는 다음과 같이 표기한다.

표준정규분포

'정규분포'를 따르는 확률변수 X는 표준정규분포로 변환될 수 있는데, 이렇게 변환하게 되면 확률변수의 값 만으로도 확률을 구할 수 있게 되어 편리하다. (표준정규분포표 활용)

표준화

모양이 비슷한 확률밀도함수를 가지는 이항분포는 정규분포로 근사시킬 수 있는데, 이것을 이항분포의 정규근사(normal approximation)라고 한다.

 

 

5.4 정규분포에 관련된 연속분포들

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