[확률과 통계]3장. 결합확률분포

• 이 포스트는 '공학인증을 위한 확률과 통계 제 4판'을 참고하여 작성되었습니다.

 

 

3.1 결합확률분포

확률변수를 동시에 두 개 이상 고려하는 확률을 결합확률 이라고 하며, 결합확률질량함수(joint prrobability mass function; j.p.m.f.)는 다음과 같다.

결합확률질량함수

결합확률질량함수에서 특정 확률변수를 고정시키고 생각할 수 있는데, 그것을 주변확률질량함수(marginal probability mass function; m.p.m.f.)라고 한다.

주변확률질량함수

결합확률밀도함수(joint probability density function: j.p.d.f.)는 다음과 같다.

결합확률밀도함수

이때는 x가 a와 b 사이이면서 y가 c와 d 사이일 확률을 의미한다.

 

주변확률밀도함수(marginal probability density function: m.p.d.f.)는 다음과 같다.

주변확률밀도함수

 

 

3.2 조건부 확률분포

조건부 확률에 대응하는 조건부 확률분포(conditional probability distribution)는 다음과 같다.

조건부 확률분포

Y가 발생했다는 가정하에 X가 발생할 확률이다.

 

두 확률변수 X와 Y가 서로 독립이라면 다음을 만족한다.

두 독립확률변수

조건부 확률분포 공식과 조건부확률의 성질을 이용하여 유도할 수 있다.

 

모든 실수 x에 대하여 다음을 만족하면 X와 Y는 항등분포(identically distributed)를 이룬다고 한다.

항등분포

 

 

3.3 결합분포에 대한 기댓값

https://blog.naver.com/mykepzzang/220837877074

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두 확률변수 X와 Y의 종속 관계를 나타내는 척도로 공분산과 상관계수를 생각할 수 있다. 일단 두 확률변수 X와 Y의 공분산(covariance)은 다음과 같이 정의한다.

공분산

상관계수(correlation coefficient)는 다음과 같이 정의한다.

상관계수

상관계수가 양수이면 하나의 확률변수 값이 커질 때 다른 쪽 확률변수 값도 같이 커진다(비례).

음의 상관관계는 그 반대이다.