3.1 2차원과 3차원 공간에서의 벡터

• 3장에서는 벡터의 미분에 대해서 다룬다.
• 이 포스트는 선형대수와 벡터 미적분학-Erwin Kreyszig 개정판을 참고하여 작성되었습니다.

많은 학문 분야의 다양한 응용에서 벡터미적분의 이해를 요구한다.

 

기하학과 물리학 그리고 이들의 공학적인 응용에서 두 종류의 양(quantities)을 사용한다. 이 두 종류의 양은 스칼라와 벡터이다.

스칼라(scalar)는 크기만으로 측정되는 양이다.

벡터(vector)는 크기와 방향을 가지는 양이다.

 

 

두 벡터의 상등

두 벡터 a와 b가 같은 방향과 같은 길이를 가질 때, 이 두 벡터는 같다(equal)고 하고 기호 a = b 로 표시한다.

 

 

벡터의 성분

벡터 a = ->PQ는 시작점 P(x1, y1, z1)와 끝점 Q(x2, y2, z2)을 가진다. 그러면 세 개의 좌표의 차이

a1 = x2 - x1, a2 = y2 - y1, a3 = z2 - z1

을 주어진 좌표계에서의 벡터 a의 성분(components)이라 하고, a = [a1, a2, a3]로 나타낸다.

(주의) 대수적인 관점에서는 벡터의 기본 형태는 열벡터 형태이나 기하학적 표현에서는 행 벡터로 표시됨에 유의

 

위치벡터

직교좌표계에서 점 A(x, y, z)의 위치벡터(position vector) r은 시작점이 원점이고 끝점이 A인 벡터이다. 성분은 r = [x, y, z]이다.

 

 

벡터의 합과 스칼라곱

벡터끼리의 합과 스칼라곱은 1장의 대수적인 설명과 동일하다.

다만, 기하학적인 면에서 직교하는 단위벡터들을 사용하는 경우가 있는데, 통상적으로 i, j, k로 표기하며

i = [1, 0, 0]

j = [0, 1, 0]

k = [0, 0, 1]

로 사용한다.

-> 따라서 직교좌표계 안에 있는 모든 점의 위치벡터 또는 두 점 사이의 거리에 의한 벡터 모두 i, j, k 벡터의 선형결합으로 표현이 가능하다.