2.4 고유기저. 대각화. 2차형식

• 이 포스트는 선형대수와 벡터 미적분학-Erwin Kreyszig 개정판을 참고하여 작성되었습니다.

경우에 따라 n x n 행렬 A의 고유벡터들이 Rn(위첨자)의 기저를 이루기도 하는데, 이 때의 고유벡터들을 고유기저(eigenbasis)라 부른다.

-> 어떤 행렬의 고유벡터들이 있는데 그 고유벡터들이 기저를 이룬 상황을 말함.

 

변환 y = Ax를 고려할 때 매우 유용하게 쓰일 수 있다.

즉 Rn(위첨자)에 속한 임의의 벡터 x는 고유벡터 x1, ..., xn 들의 1차결합

x = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn

으로 유일하게 표기할 수 있고, 이들 고유벡터에 대응하는 각각의 고유값을 λ1, ..., λn이라 한다면, Axj = λjxj 이므로,

가 됨을 알 수 있다.

 

 

고유벡터들로 구성된 기저

만일 n x n 행렬 A가 n개의 서로 다른 고유값을 가지면, 이 행렬 A의 고유벡터 x1, ..., xn은 Rn(위첨자)의 기저가 된다.

-> 서로다른 고유값을 가지면 고유기저다!

 

 

행렬의 유사성과 대각화

(대각화는 유사변환 중 하나이다.)

만약 어떤 n x n 가역행렬 P가 존재하여

관계가 성립할 때, n x n 행렬 A^는 n x n 행렬 A와 유사(similar)하다고 한다.

행렬 A로부터 행렬 A^를 얻는 변환을 유사변환(similarity transformation)이라 한다.

-> 이 변환의 중요한 성질 중 하나는 A의 고유값이 보존된다는 것이다!

-> 게다가 x가 A의 고유벡터라고 할 때, y = P-1x는 같은 고유값에 대응되는 A^의 고유벡터가 된다.

 

 

행렬의 대각화

만약 n x n 행렬 A가 고유기저를 가지면, 이들 고유벡터들을 열벡터로 하는 행렬 X에 대하여,

D = X-1AX

는 대각행렬이 되고 A의 고유값들이 주대각선의 원소가 된다.

인덱스 순서

 

 

2차형식. 주축형식으로 변환

<공사중>